[2015년 대화고]

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[1학년 2학기 중간]

두 집합 [eqn: A= LEFT { a,```b RIGHT }][eqn: B= LEFT { a,```b,```c,```d,```e,```f RIGHT }]에 대하여
[eqn: A SUBSET X SUBSET B]를 만족하는 집합 [eqn: X]의 개수는?[4.3점]

③

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 64]

집합 [eqn: A= LEFT { x`|`x는```24의```약수 RIGHT }]의 부분집합 중에서 집합
[eqn: B= LEFT { x`|`x는```2의```배수 RIGHT }]와 서로소인 집합의 개수는? [4.3점]

①

① [eqn: 4]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 64]

전체집합 [eqn: U]가 자연수 전체의 집합일 때, 조건 [eqn: p]의 진리집합을 [eqn: P]라 하자. ‘[eqn: p:x는```6의```약수이다.]’일 때 [eqn: P]의 모든 원소의 합은? [4.3점]

⑤

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=x]가 그림과 같을 때,
[eqn: (f ^{-1} CIRC f CIRC f ^{-1} )(3)]의 값은? [4.3점]

③

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

보기의 명제 중 역이 항상 참인 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: x]와 [eqn: y]는 모두 실수이다.) [4.4점]

②

ㄱ. [eqn: x=0] 또는 [eqn: y=0]이면 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =0]이다.
ㄴ. [eqn: x=y]이면 [eqn: x ^{2} =y ^{2}]

ㄷ. [eqn: x=0] 또는 [eqn: y=0]이면  [eqn: xy=0]이다.

ㄹ. [eqn: x+y>0]이면 [eqn: x ^{2} +y ^{2} >0]이다.

① ㄴ	② ㄱ, ㄷ	③ ㄴ, ㄷ
④ ㄷ, ㄹ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

유리함수 [eqn: y= {3} over {x}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: p]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: q]만큼 평행이동하면 [eqn: y= {4x-17} over {x-5}]의 그래프와 일치한다. 이 때 [eqn: pq]의 값은? [4.4점]

⑤

① [eqn: -20]	② [eqn: -15]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 20]

무리함수 [eqn: y= sqrt { ax}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -2]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동하면 점 [eqn: (0,```3)]을 지나간다. 이때 상수 [eqn: a]의 값은? [4.4점]

①

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

무리함수 [eqn: y=- sqrt { 6-3x}+5]의 그래프에 대한 설명 중 옳지 않은 것은? [4.4점]

④

① 치역은 [eqn: LEFT { y`|`y LEQ 5 RIGHT }]이다.
② 점 [eqn: (-1,```2)]를 지나간다.
③ 정의역은 [eqn: LEFT { x`|`x LEQ 2 RIGHT }]이다.
④ 제[eqn: 1,```3,```4]사분면을 지나간다.
⑤ [eqn: y=- sqrt {-3x}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼,
[eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 5]만큼 평행이동한 그래프이다.

다음의 성질을 만족하는 함수를 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.5점]

④

[eqn: f(x _{1} )=f(x _{2} )`]이면 [eqn: x _{1} =x _{2}]이다.

ㄱ.		ㄴ.
ㄷ.		ㄹ.

① ㄱ, ㄴ	② ㄱ, ㄷ	③ ㄴ, ㄷ
④ ㄴ, ㄹ	⑤ ㄷ, ㄹ

전체집합 [eqn: U]의 공집합이 아닌 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B]의 포함 관계가 아래 벤 다이어그램과 같을 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: A != B]이다.) [4.5점]

③

ㄱ. [eqn: A ^{c} SUBSET B ^{c}]	ㄴ. [eqn: A CUP B=B]

ㄷ. [eqn: A ^{c} SMALLINTER B=B]	ㄹ. [eqn: B-A= EMPTYSET]

ㅁ. [eqn: A ^{c} SMALLINTER B ^{c} =A ^{c}]

① ㄱ, ㄷ, ㅁ	②  ㄱ, ㄷ, ㄹ	③ ㄱ, ㄹ, ㅁ

④ ㄴ, ㄷ, ㄹ	⑤ ㄴ, ㄹ, ㅁ

네 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r], [eqn: s]에 대하여 [eqn: s]는 [eqn: p]이기 위한 필요조건, [eqn: SIM r]은 [eqn: SIM s]이기 위한 충분조건, [eqn: SIM q]는 [eqn: s]이기 위한 충분조건일 때, 보기의 명제 중에서 항상 참인 것만을 있는 대로 고른 것은? [4.5점]

③

ㄱ. [eqn: SIM p`` -> `q]

ㄴ. [eqn: s`` -> ``r]

ㄷ. [eqn: SIM r``` -> SIM p]

ㄹ. [eqn: r`` -> SIM q]

① ㄱ, ㄷ	② ㄱ, ㄹ	③ ㄴ, ㄷ

④ ㄴ, ㄹ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

두 집합 [eqn: A], [eqn: B]를 벤 다이어그램으로 나타내면 아래와 같을 때, 다음을 모두 만족시키는 집합 [eqn: X]의 개수는? [4.5점]

②

(가) [eqn: A SMALLINTER X=X]

(나) [eqn: (A-B) CUP X=X]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

두 함수 [eqn: f(x)=x+1], [eqn: g(x)=-3x+2]에 대하여 함수 [eqn: h]가 [eqn: f CIRC h CIRC f=g]를 만족시킬 때, [eqn: h(1)]의 값은? [4.6점]

⑤

① [eqn: -1]	② [eqn: - {1} over {2}]	③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: 1]

두 집합 [eqn: X= LEFT { a,```b,```c,```d,```e RIGHT }], [eqn: Y= LEFT { 1,```2,```3,```4,```5 RIGHT }]에 대하여 다음 두 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f:X -> Y]의 개수는? [4.6점]

②

• 함수 [eqn: f]의 역함수가 존재한다.

• [eqn: f(a)=3]

① [eqn: 6]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 120]

④ [eqn: 256]	⑤ [eqn: 625]

두 함수 [eqn: f(x)= {x-1} over {2x+3], [eqn: g(x)= {ax+b} over {cx+d}][eqn: (ad-bc != 0,```c != 0)]일 때, [eqn: x != {1} over {2}]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: (f CIRC g)(x)=x]가 되도록 하는 함수 [eqn: y=g(x)]에 대하여 [eqn: g(1)]의 값은? [4.6점]

①

① [eqn: -4]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -2]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

전체집합 [eqn: U= LEFT { `x`|` LEFT | x RIGHT | LEQ 10,```x는```실수 RIGHT }]일 때, 명제 [eqn: a LEQ x<a+1]인 어떤 실수 [eqn: x]에 대하여 ‘[eqn: x LEQ `-5] 또는 [eqn: x>4]이다.’가 참이 되게 하는 자연수 [eqn: a]의 개수는? [4.6점]

②

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

[eqn: 40]명의 한 반 학생에게 반 단합을 위한 반 티 디자인으로 후드티와 동물옷에 대한 찬성, 반대의 의견을 각각 조사하였더니, 후드티를 찬성하는 학생은 [eqn: 25]명, 동물옷을 찬성하는 학생은 [eqn: 20]명이었다. 두 디자인을 모두 반대하는 학생 수는 두 디자인을 모두 찬성하는 학생 수의 [eqn: {1} over {3}]보다 [eqn: 1]명이 많다고 할 때, 두 디자인을 모두 찬성하는 학생 수와 모두 반대하는 학생 수의 합은? [4.7점]

④

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

함수 [eqn: f(x)= {5} over {4} x+ {7} over {4} - LEFT | {3} over {4} x- {3} over {4} RIGHT |]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이는? [4.7점]

④

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 16]

무리함수 [eqn: y= sqrt { ax+b}+c]의 그래프가 그림과 같을 때, 유리함수 [eqn: y= {cx+3} over {ax+b}]의 그래프가 지나가지 않는 사분면은? [4.7점]

⑤

① 제[eqn: 1]사분면	② 제[eqn: 2]사분면
③ 제[eqn: 3]사분면	④ 제[eqn: 4]사분면
⑤ 제[eqn: 1,```2,```3,```4]사분면을 모두 지나간다.

전체집합 [eqn: U= LEFT { (x,```y)`|`x+y GEQ 0,```x,```y는```모두```실수이다. RIGHT }]
일 때, 두 조건 [eqn: p], [eqn: q]가
[eqn: p``:x-2y+6 GEQ 0] 이고 [eqn: 2x+y-3 LEQ 0]
[eqn: q``:x ^{2} +(y-2) ^{2} LEQ r ^{2}]
라 하자. [eqn: q]가 [eqn: p]이기 위한 충분조건이기 위한 실수 [eqn: r]에 대하여 [eqn: r ^{2}]의 최댓값은? [4.7점]

①

① [eqn: {1} over {5}]	② [eqn: {4} over {5}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 34]

서술형

넓이가 [eqn: 13rmkm ^{2}]인 땅을 매입하여 공원을 건설하려고 하는데, 이 공원에 인공호수를 짓고 나머지 땅에는 녹지를 조성할 계획이다. 인공호수의 넓이를 [eqn: a{rmkm ^{2}], 녹지의 넓이를 [eqn: b{rmkm ^{2}]라고 할 때, 소요되는 건설비용은 각각 [eqn: 4a ^{2}]억원, [eqn: 9b ^{2}]억원이다. 공원을 건설하는데 소요되는 총 건설비용의 최솟값과 그 때의 인공호수의 넓이를 구하고 풀이과정을 서술하시오. [5.0점]

[eqn: 468]억원, [eqn: b=9]

코쉬슈바르츠 부등식

[eqn: left(left( {1} over {2} right) ^{2} +left( {1} over {3} right) ^{2} right)((2a) ^{2} +(3b) ^{2} )ge(a+b) ^{2}]

에서

[eqn: rmO]도시에서 새로운 도시 계획을 위하여 땅의 넓이를 구하려고 한다. [eqn: l _{0}]는 [eqn: rmO]도시를 원점으로 할 때 [eqn: y= {4} over {x} ``(x>0)]의 그래프의 경로를 따라 지나가는 도로이며 [eqn: l _{1}]은 [eqn: rmO]도시와 [eqn: rmO]도시에서 북으로 [eqn: 40rmkm] 동으로 [eqn: 10rmkm]지점을 지나는 직선 도로, [eqn: l _{2}]는 [eqn: rmO]도시와 [eqn: rmO]도시에서 북으로 [eqn: 10rmkm] 동으로 [eqn: 40rmkm]지점을 지나는 직선 도로이다. 이때 [eqn: l _{1}]과 [eqn: l _{0}]의 교점을 [eqn: rmA], [eqn: l _{2}]와 [eqn: l _{0}]의 교점을 [eqn: rmB]라 할 때 [eqn: rmO]도시와 [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 모두 직선으로 연결한 땅의 넓이를 구하고 풀이과정을 서술하시오. (단, 도로의 폭은 고려하지 않는다.) [5.0점]

[eqn: 15over2]

[eqn: rmA(1,```4)], [eqn: rmB(4,```1)]에서 [eqn: bar{rmOA}= sqrt { 17}]이고

[eqn: rmB]에서 직선 [eqn: {rmOA }:y=4x]까지의 거리는 [eqn: 15over sqrt { 17}]이다.

[2015년 대화고]

[1학년 2학기 중간]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com